صغار السن يحلون مسائل رياضية معقدة: نظرة تاريخية على رياضيات «واسان» اليابانية

في أواخر فترة إيدو (1603-1868)، تم التبرع بلوحة سانغاكو لمعبد ميوجورينجي في مدينة أوغاكي بمحافظة غيفو، ولا تزال موجودة حتى اليوم. واللوحة عبارة عن مجموعة فرعية من ”إيما“، وهي لوحات خشبية كان يقدمها المؤمنون إلى المعابد آملين في التغلب على بعض الصعوبات في الحياة، ولكن سانغاكو لها تركيز أضيق، حيث كانت تشكل تدوينا لحل جديد لمسائل رياضية من علم ”واسان“ الرياضي التقليدي في فترة إيدو في اليابان (1603-1868). يظهر من بين المساهمين في هذه اللوحة اسما امرأتين، بالإضافة إلى مساهم مراهق آخر، ما يشكل دليلا مهما على أن الواسان لم يكن يمارسه الرجال البالغون فحسب، بل كان يُمارس من قبل النساء والأطفال.

سانغاكو في معبد ميجورينجي (بإذن من فوكاغاوا هيديتوشي).

أسماء مراهقين في لوحة سانغاكو بمعبد ميوجورينجي

تم التبرع بلوحة سانغاكو إلى ميوجورينجي في عام 1865 من قبل ”أسانو غينجورو، تلميذ أسانو تاكاميتسو وآخرين“. المسألة الرياضية الثالثة في هذه اللوحة تُنسب إلى ”كاواي ساوا“، وهو اسم أنثى. كانت كاواي تبلغ من العمر 16 عاما في ذلك الوقت. يشرح فوكاغاوا هيديتوشي، باحث في علم واسان الرياضي التقليدي ومدرس رياضيات سابق في مدارس ثانوية وحاصل على درجة الدكتوراه من الأكاديمية البلغارية للعلوم، يشرح المسألة الرياضية وحلها على النحو التالي.

تفاصيل لوحة سانغاكو بمعبد ميوجورينجي توضح المسألة الرياضية التي حلتها كاواي ساوا (بإذن من فوكاغاوا هيديتوشي).

المسألة الرياضية التي حلتها كاواي ساوا.

هناك شكل بيضاوي داخله دوائر حمراء وزرقاء وصفراء ذات ثلاثة أنصاف أقطار مختلفة يقع مركزها على خط مستقيم كما هو موضح في الشكل. كل واحدة من هذه الدوائر الثلاث تمس حافة الشكل البيضاوي. تلامس الدائرتان الحمراوان والدائرتان البيضاوان من اليسار واليمين الشكل البيضاوي الموجود في المنتصف. كيف تحسب قطر الدائرة الصفراء عندما يكون حجم الدائرة الزرقاء أقصى ما يكون؟ الحل: استخدم المعداد لتقسيم قطر الدائرة الزرقاء على 3.

يقول فوكاغاوا ”في الرسم البياني بلوحة السانغاكو ، تختفي الدائرة الإضافية الموجودة أعلى الشكل البيضاوي عند رسم شكل بيضاوي مناسب وتكبير الدائرة الزرقاء إلى أقصى ما يمكن، لذا فمن الأفضل عدم تضمينها. ولكن وفقا لنص المسألة، فإن الإجابة صحيحة“. ”هذه المسألة الرياضية هي من المستوى المتوقع أن يحله طلاب جامعيون متخصصون في الرياضيات أو أعلى، ومن المذهل معرفة أن فتاة تبلغ من العمر 16 عاما كانت تدرس مثل هذه المسائل الصعبة“.

بالإضافة إلى ذلك، تنسب المسألة الرياضية السادسة الموجودة على اليمين في نفس السانغاكو إلى ”أوكودا تسو“، وهو اسم أنثى أيضا (العمر غير مدون)، بينما تُنسب المسألة العاشرة إلى فتى يبلغ من العمر 15 عاما يدعى تانيبي سوتيجي شيغيتوشي. ولسوء الحظ، لا نعرف شيئا آخر عن هؤلاء الأشخاص، لكن ظهورهم هنا يثبت أن النساء والأطفال كانوا يعملون على حل مسائل واسان إلى جانب الرجال البالغين، وأن قدراتهم كانت موضع احترام بما يكفي لتسجيلها على هذه اللوحات.

نسوة في تجمع رياضي للساموراي

لم تكن هذا الظاهرة مقتصرة على أوغاكي فقط. لوحة السانغاكو أدناه تم التبرع بها لمعبد سوزومي هاتشيمانغو فيما يعرف الآن بمدينة أوكاياما في عام 1861 من قبل طلاب مدرسة واسان محلية. وفقا لفوكاغاوا، إن الشخص الظاهر في وسط الصورة هو معلم المدرسة، بينما البقية هم طلاب، بعضهم يستخدم عدادات وآخرون يستخدمون سانغي وسانبان (عصي وحصائر للحساب) لحل معادلات من الدرجة العالية. من بين الطلاب امرأتان وفتى ينظر إلى العدادات. (الساموراي الذي يعطس في أسفل اليسار هو تفصيل ساحر آخر في اللوحة).

لوحة سانغاكو في معبد سوزومي هاتشيمانغو (بإذن من فوكاغاوا هيديتوشي).

توجد على يسار ويمين اللوح بوسط الصورة 3 مسائل رياضية هي كالتالي:

1. إذا كان المربع مساحته 85 ألف وحدة مربعة، فأوجد طول أحد أضلاعه.
2. إذا كانت لديك دائرة داخل مثلث أطوال أضلاعه (10، 17، 21)، فأوجد قطرها.
3. إذا كان لديك مكعب حجمه 1,881,676,371,789,154,860,897,069، فأوجد طول أحد أضلاعه.

الحلول الحديثة لهذه المسائل باستخدام الآلات الحاسبة أو أجهزة الكمبيوتر ستكون كما يلي:

1. ײ - 85000 = 0.
   الإجابة: 291.547 . . .
2. احسب مساحة المثلث S باستخدام صيغة هيرو*، ثم احسب نصف قطر الدائرة r باستخدام: r = 2S /( a + b + c ).
   الجواب: 2r = 7.
3. ׳ - 1,881,676,371,789,154,860,897,069 = 0.
   الإجابة: 123,456,789.

* ”صيغة هيرو“ المذكورة في المسألة الرياضية الثانية، هي طريقة لحساب مساحة مثلث S عندما لا يكون معلوما إلا أطوال أضلاعه (a, b, c). تتكتب الصيغة عادة: S=√(s(s - a)(s - b)(s - c))، حيث s=(a + b + c)/2. عادة ما تُدرّس هذه الصيغة في المدارس الثانوية في أيامنا، ولكن المختصين برياضيات واسان كان على دراية بها بالفعل.

لوحة السانغاكو هذه لا تقدر بثمن بالنسبة للقصة التي ترويها عن اختلاط النساء والأطفال مع الساموراي أثناء عملهم على حل المسائل الرياضية، باستخدام صيغة هيرو والمعداد والسانغي لحل معادلات ذات مستوى مرتفع تتضمن أعدادا تحتوي على العديد من الأرقام.

كتاب حررته ابنة طبيب؟

ظهر العنوان ”سانبو شوجو (فتاة الحساب)“ في عدة مناسبات في العصر الحديث - كاسم لكتاب عام 1973 من تأليف إندو هيروكو، وأعيد إصداره في عام 2006، تلاه إصدار نسخة مانغا بدأت في عام 2010. ولكن النص الأصلي كان نص واسان من ثلاثة مجلدات نُشرت في عام 1775، أي قبل حوالي 250 عاما، في منتصف فترة إيدو. يُنسب الكتاب إلى ”كوتشو نو إنجا (ناسك في وعاء)“ الموصوف في مقدمة الكتاب بأنه ”طبيب من أوساكا، دونت ابنته تايرا أكيكو وحررت توصيفاته لتقنيات الرياضيات بغرض النشر هنا“. لذلك، يوضح المؤلف أن كلمة ”فتاة (شوجو)“ في العنوان تعود إلى ابنته.

ورد ذكر الكتاب في كتابات آيدا ياسوأكي – أحد ممارسي واسان الناشطين آنذاك – ومن هذا نعلم أن الاسم الحقيقي لكوتشو نو إنجا هو تشيبا توزو. كان تشيبا بالفعل طبيبا من أوساكا يمارس مهنته في إيدو، وكان أيضا متحمسا لواسان ومنغمسا تماما في مدرسة سيكي.

بيانات دار النسخ في نهاية المجلد الثالث من سانبو شوجو (بإذن من الأرشيف الرقمي لمكتبة البرلمان القومية).

دعونا نلقي نظرة على محتوى الكتاب معتمدين على ”واسانشو سانبو شوجو أو يومو (قراءة نص واسان لفتاة الحساب)“ من تأليف كوتيرا هيروشي، الباحث في واسان ومعلم سابق في مدرسة تودايجي غاكوئن للمرحلتين المتوسطة والثانوية.

يبدأ ”سانبو شوجو“ بتقديم طريقة لحساب باي (𝜋). تشمل الطريقة استخدام مضلعات منتظمة ترسم داخل دائرة: أولا مربع، ثم مثمن، ثم مضلع ست عشري، حتى مضلع بعدد مدهش يزيد عن 100 ألف ضلع. وكما يصف النص، يُظهر ذلك لنا أن محيط الدائرة ÷ القطر = 355 ÷ 113 = 3.14159202 ... ولكن الكتاب يشير إلى أن هذا ليس صحيحا تماما، ويعد بفخر بالغ بالكشف لاحقا عن طريقة سرية للتعبير عن باي كسلسلة لانهائية.

لا يزال حساب باي يستخدم كمقياس لأداء الحواسيب العملاقة حتى اليوم. من الواضح أن أهميته لممارسي واسان تعني أن تغطيته في بداية الكتاب كانت ضرورية للبرهان على قدرات المؤلف. كما يتناول الكتاب مواضيع معروفة للرياضيين المعاصرين مثل المتسلسلة الهندسية والدوائر المحاطة بالمثلثات والمعادلات خماسية الدرجة والمضاعفات الأقل شيوعا للكسور ومجموعة متنوعة من هذه المواضيع. تحتوي المجلدات الثلاثة على العديد من المسائل، من أنواع مختلفة، مكتوبة باللغتين الصينية واليابانية.

وقد أظهر الفحص الدقيق الذي أجراه كوتيرا للمسائل الفردية أن معظم المسائل المكتوبة باللغة اليابانية كانت بسيطة، بينما كانت المسائل المكتوبة باللغة الصينية تميل إلى أن تكون ذات صعوبة متوسطة أو أعلى. كما يتضمن الكتاب بعض الأخطاء الرياضية، ويقف على مسافة بعيدة نسبيا من التيار الرئيسي للواسان. إذن من أي نوع من الفتيات كانت محررة الكتاب ”أكيكو“؟. لسوء الحظ لا يوجد ما يشير إلى وجودها، إلا هذا الكتاب. وفقا لكوتيرا، لم يتطرق آيدا ياسوأكي لذكرها أيضا. أشار البعض إلى أن ”أكيكو“ كانت مجرد أداة أدبية، ولكن الحقيقة غير معروفة.

كان تقييم آيدا لـ”سانبو شوجو“ منحازا بشكل عام نحو تشيبا توزو، ولكن فوجيتا ساداسوكي – ممارس واسان من الجيل نفسه – لم يكن كذلك. كان يكره الكتاب بشدة لدرجة أنه كتب هجوما لاذعا وحتى عاطفيا على الكتاب تحت عنوان ”سانبو شوجو نو هيو (تقييم فتاة الحساب)“. أججت الفتاة الغامضة من لهيب العداء الطويل المستمر بين الشخصين المتحمسين للواسان.

مغامرات أخرى لفتاة الحساب

كتبت إندو هيروكو رواية – مستوحاة من هذه القصة – منحت حياة جديدة لفتاة الحساب. نُشر كتابها – اسمه أيضا ”سانبو شوجو“ – لأول مرة في عام 1973، وأعيدت طباعته في عام 2006. تستمد الرواية دعائمها الأساسية من العمل الأصلي، حيث تتكلم عن بطلة شابة تدعى أكي تدخل عالم الواسان عن طريق والدها الطبيب. تتضمن مغامرات أكي تحديد خطأ في لوحة سانغاكو تبرع به ساموراي شاب معتد بنفسه يدرس في مدرسة واسان شهيرة، ثم تفتتح مدرسة خاصة بها لتعليم الحساب الأساسي للأطفال المحتاجين الذين يعيشون في منازل ناغاي. وتقابل عدة ممارسين تاريخيين للواسان في طريقها.

يُقال إن إندو قد بذلت جهودا مضنية في التحضير لكتابة روايتها. فقد انغمست في كتب تاريخ الرياضيات، واستشارت خبراء لشرح نقاط رياضية دقيقة معنية، وقامت بدراسة حالة الرياضيات في اليابان في ذلك الوقت. وهذا ما يجعل من قراءة الكتاب أمرا مثيرا للاهتمام لأولئك المهتمين بكيفية تقدير الناس للواسان واستمتاعهم به في منتصف فترة إيدو. تم تحويل الرواية إلى قصة مصورة (مانغا) رسمها أكيزوكي ميغورو، ونُشرت في سلسلة في الفترة من عام 2010 إلى 2014، كما صدر فيلم رسوم متحركة من إخراج تومورا شيرو في عام 2015.

رواية سانبو شوجو (على اليسار، بإذن من تشيكوما غاكوغيي بونكو)، مستوحاة من نص واسان يعود لفترة إيدو يحمل نفس الاسم، ومانغا مقتبسة منها (بإذن من دار نشر ليد).

ماذا عن الأولاد في فترة إيدو؟ وفقا لكتاب فوكاغاوا بعنوان ”ريدياي دي شيرو نيبون نو سوغاكو تو سانغاكو (رياضيات وسانغاكو اليابان من خلال أمثلة)“، نعلم الآن من لوحات سانغاكو ووثائق ذات الصلة لا تزال متوفرة بين أيدينا، أن أسماء ما لا يقل عن 15 صبيا أعمارهم بين 9 و 15 عاما مدونة على لوحات سانغاكو في أوكاياما وكيوتو وشيغا وغيفو وطوكيو وتشيبا وغونما. ويقول فوكاغاوا إن الأمر الأبرز هو أنهم عادة ما يظهرون في ارتباط بما يُعتبر اليوم مسائل رياضية على مستوى جامعي. لم تكن الأعمار تكتب عادة على سانغاكو، ولكن فوكاغاوا يعتقد أن تضمينها بشكل متعمد كان وسيلة يشجع بها البالغون المواهب الشابة.

باحثة ألمانية تكتشف واسان

بدأت أنتونيا كارايسل الأستاذة المساعدة في معهد واسيدا للدراسات المتقدمة البحث في واسان في أبريل/نيسان عام 2023، وهي متخصصة في تاريخ العلاقة بين الفلسفة والعلوم. بدأ اهتمامها باليابان عندما كانت تستكشف المعرفة التي نقلها المبشرون المسيحيون في عصر الاكتشاف إلى جانب الدين. وكانت الهندسة الإقليدية من بين المواضيع التي علموها. كانت كارايسل تأمل في تتبع كيف وصل هذا الموضوع إلى اليابان وانتشر فيها، لكنها لم تجد أي دليل على ذلك. وبعد أن ظلت في حيرة من أمرها، قامت بالتحقيق أكثر، وسرعان ما أدركت أن منهج إقليدس قد فشل في الاستمرار لأن اليابان كانت قد وضعت بالفعل تقاليد رياضية خاصة بها.

الدكتورة أنتونيا كارايسل (© آبي هاروكي).

بعد قراءتها لكتب متعلقة بالواسان مثل ”الرياضيات المقدسة: الهندسة اليابانية في المعابد“ من تأليف فوكاغاوا وروثمان، أصبحت كارايسل مقتنعة بأن الواسان والسانغاكو قد تطورا من خلال شبكة بشرية لم تشمل المتخصصين فحسب وإنما أيضا الأشخاص العاديين المهتمين.

تقول كارايسل ”هذا النوع من الشبكة البشرية لم يكن موجودا في الغرب. فقد شملت المزارعين والأطفال والنساء، واستمرت لمدة 250 عاما. هل يمكنك تصديق ذلك؟“.

قررت كارايسل القدوم إلى اليابان لرؤية ودراسة الواسان شخصيا. وبسبب موضوع بحثها المقترح ”السانغاكو اليابانية والهندسة الإقليدية: تاريخ المماسات أو الخطوط المتوازية؟“، حصلت على عرض عمل في معهد واسيدا للدراسات المتقدمة. يبلغ طول فترة إقامتها 3 سنوات، وهي تقضيها بجدية في تجميع مواد سانغاكو مع شروحات باللغة الإنجليزية، بهدف مشاركة هذا التقليد مع الباحثين في جميع أنحاء العالم. وقد التقت مع فوكاغاوا وحصلت منه على صور سانغاكو ومواد ذات الصلة. كما زارت بالفعل ناغاساكي وإيواتي وميي، وشاهدت بالطبع لوحة السانغاكو في معبد ميوجورينجي.

تقول كارايسل ”هذا العمل، الذي أبدعه رجال ونساء وأولاد وبنات، بسبب شغفهم بالاستكشاف الفكري، كان ببساطة جميلا جدا. لقد تأثرت بشدة“.

(المقالة الأصلية منشورة باللغة اليابانية، الترجمة من الإنكليزية. صورة العنوان: سانغاكو في معبد سوزومي هاتشيمانغو. بإذن من فوكاغاوا هيديتوشي)