「和算」：在太平盛世蓬勃發展起來的日本數學

「6球連鎖定理」——寒川神社的算額領先了100多年

權威科學雜誌《自然》（Nature）在1936年的第138期上刊登了英國化學家Frederick Soddy的一首詩《六球鏈》（The Hexlet）。標題中的「hex」意為「6個」，「let」意為「小東西」，這是所謂「6球連鎖定理」的初次亮相，該定理後來便以他的名字命名。

為了確保正確無誤，在此我將引用和算研究者、獲得保加利亞科學院博士學位的前高中數學教師深川英俊和曾在哈佛大學等校任教的理論物理學家Tony Rothman合著的《神聖數學：算額》（森北出版），介紹該定理的內容及其發現的過程。

該定理指出「當1個球體中有2個相互外接的球體內接時，由不同半徑的球體組成的項鍊能夠連接並進入這些間隙的數量恰好限制為6個。此外，每個球體的半徑之間存在著1/r₁+1/r₄=1/r₂+1/r₅的關係」。

作為一名研究離子鍵的化學家，Soddy對在一個大圓內可以鋪設多少個半徑不同的圓柱或圓圈的「填充問題」很感興趣。他與紐西蘭出身的物理化學家Ernest Rutherford一起通過放射性衰變發現了元素的嬗變，並因發現同位素而在1921年獲得諾貝爾化學獎。由於Soddy的知名度，該定理通常被稱為「Soddy6球連鎖定理」。

圍繞相互外接的內接球a和b的圓鏈剛好有6個，並且完全相連

對日本各地算額進行調查的深川先生表示，寫有完全相同內容的算額在1822年被奉納在相州（現神奈川縣）的寒川神社。奉納者是入澤新太郎博篤，他是近江/日野商人的後裔，經營「日野屋」，主要從事漢方藥材、茶葉和棉織品的生意，同時也學習和算。雖然入澤的算額已經失傳，但他的恩師、和算家內田五觀在記錄弟子們的算額的《古今算鑒》（1832年刊）一書中記載了該內容。

根據《古今算鑒》的記錄，寒川神社復原並在展示的算額（筆者攝影）

算額的6球連鎖對應的頁面是從京都大學理學研究科數學教室圖書室所藏的《古今算鑒》數位檔案中摘錄並轉載的。右頁的第5行以「今有」開頭的是問題、答案和解釋。

京都大學理學研究科數學教室圖書室所藏的《古今算鑒》數位檔案

根據深川的現代譯文，算額的問題是「如圖所示，在外球內安放兩個相互外接的球（日球和月球），並在它們之間的空隙中形圍出一圈相互連接的球鏈。如果外球的直徑是30寸，日球的直徑是10寸，月球的直徑是6寸，甲球的直徑是5寸，求解其他球的直徑」。在答案中，依次給出了從甲球之後的第2個乙球到第6個己球的數值，並寫道「從第7個球開始又回到了原來的數值，所以停止」。這正是6球連鎖定理本身。

這意味著，日本商家的一個老闆超前一個多世紀得出了一個定理，而這個定理是一位諾貝爾獎獲得主的探索和發現的定理之一。這可以說是一種超越業餘愛好的好奇心。和算成立也正是得益於這些「平民」的智慧能量的支撐。