Расцвет васан во времена долгого мира: табличка сангаку из святилища Самукава на сотню лет предвосхищает работу лауреата Нобелевской премии

В один из выходных дней в сентябре 2023 года на станции Оогаки в префектуре Гифу я встретился с Питером Ваном, профессором математики Бейтского колледжа штата Мэйн на северо-востоке США. Вместе мы отправились знакомиться с сангаку в буддийском храме Мёдзёрин, который находится в городе Оогаки.

Сангаку – это разновидность табличек эма, которые преподносились буддийским храмам или синтоистским святилищам. Особенность сангаку состоит в том, что такое подношение знаменовало собой решение сложной задачи самобытной японской математики васан, получившей широкое развитие в эпоху Эдо. Наряду со старинными документами, эти таблички являются ценным историческим материалом, повествующим о пути, пройденном математикой васан, и в наши дни по всей стране сохранилось в общей сложности около тысячи этих артефактов. Профессор Ван, который является специалистом в области топологии (раздела математики, изучающего свойства геометрических тел), большой энтузиаст исследований сангаку. Его визит в Японию, седьмой по счету, продолжался три недели, в течение которых он ездил по стране, чтобы изучать сангаку и общаться с другими исследователями васан.

На самом деле зарубежных исследователей, которых, подобно профессору Вану, привлекают васан и сангаку, не так уж мало. Это обусловили три особенности данного явления – самобытность при высоком уровне достижений, участие женщин и детей, а также развитие в провинции наряду с большими городами.

Сангаку святилища Самукава: предвосхищение «теоремы шести сфер» более чем на сотню лет

В 1936 году престижный научный журнал Nature в 138-м выпуске опубликовал стихотворное сочинение британского химика Фредерика Содди под названием The Hexlet («Гекслет»). Слово, составленное из hex, что означает «шесть» и let – «малый составной элемент», впервые представило свету так называемую «теорему цепочки шести соприкасающихся сфер», которую впоследствии стали называть «гекслетом Содди» или «шестеркой сфер Содди».

Для конкретного изложения теоремы и ее истории воспользуемся вышедшей в издательстве «Морикита сюппан» книгой «Сангаку: священные цифры», авторами которой являются исследователь васан, бывший учитель математики в полной средней школе Фукагава Хидэтоси, удостоенный звания профессора Болгарской академии наук, и физик-теоретик, преподаватель Гарвардского университета и ряда других учебных заведений Тони Ротман.

Теорема гласит: если в большую сферу вписаны две соприкасающиеся сферы, то в оставшееся пространство можно вписать цепочку ровно из шести сфер разного радиуса, каждая из которых касается заданных сфер и предыдущей сферы цепочки, при этом взаимосвязь радиусов описывается выражением 1/r₁+1/r₄=1/r₂+1/r₅=1/ r₃+1/ r₆.

Содди, будучи химиком, изучавшим соединение ионов, заинтересовался «проблемой заполнения», а именно: сколько сфер или цилиндров с разными радиусами можно вписать в более крупную сферу. Вместе с физиком новозеландского происхождения Эрнестом Резерфордом он открыл ядерную трансмутацию элементов через радиоактивный распад, а за открытие изотопов в 1921 году был удостоен Нобелевской премии по химии. Данная теорема обычно именуется «Теоремой Содди о цепочке из шести соприкасающихся сфер».

Теорема о цепочке из шести соприкасающихся сфер

По сведениям Фукагавы, который занимался исследованиями сангаку в разных регионах Японии, табличка совершенно аналогичного содержания была преподнесена синтоистскому святилищу Самукава в исторической провинции Сагами (ныне префектура Канагава) в 1822 году. Подношение сделал Ирисава Синтаро. Будучи отпрыском семейства торговцев Хино из Оми, он занимался торговлей снадобьями китайской медицины, чаем и хлопчатой тканью, а также увлекался математикой васан. Хотя расчеты самого Ирисавы были утрачены, их содержание можно найти в издании «Кокон санкан» («Санкан – былые и нынешние») 1832 года, в котором преподаватель васан Утида Гокан приводит содержание сангаку своих учеников.

Сангаку, восстановленная на основании сведений, изложенных в «Кокон санкан», демонстрируется в святилище Самукава (снимок сделан автором статьи)

Приведем фрагмент «Кокон санкан» из цифрового архива библиотеки математического отдела Отделения естественнонаучных исследований Киотского университета, соответствующий странице книги о сангаку про шесть сфер. С пятой строки на правой странице, начиная с 今有 , содержится вопрос, ответ и разъяснение.

Страницы «Кокон санкан» в цифровом архиве библиотеки математического отдела Отделения естественнонаучных исследований Киотского университета

В переводе на современный язык в исполнении Фукагавы, сангаку гласит: «Во внешнюю сферу вписаны соприкасающиеся сферы двух размеров (именуемые «солнечной и лунной» сферами). Заполните остальное пространство большой сферы цепочкой соприкасающихся сфер. При диаметре внешней сферы 30 сун, «солнечной» сферы 10 сун, а «лунной» сферы 6 сун, определите диаметры последующих сфер. В ответе приводятся параметры следующих сфер, после чего говорится, что седьмая по счету совпадает с первой. То есть, речь идет о том, что число соприкасающихся сфер составляет шесть.

К доказательству теоремы, которую Нобелевский лауреат обнаружил в ходе одного из своих исследований, глава японского купеческого семейства пришел на сто лет раньше. Определенно, любопытство этого купца вышло за рамки заурядного хобби. Именно такой интеллектуальной энергией «математиков из масс» подпитывался феномен васан.

«Преподобный» Сэки Такакадзу: концепция детерминанты, опередившая Лейбница

Рассказывая о васан, совершенно невозможно обойтись без упоминания о Сэки Такакадзу. Он достиг вершин этой науки и удостоился почетной характеристики «Сансэй» – «Преподобный математик» вслед за мастером хайку Мацуо Басё, которого называли «Хайсэй» – «Преподобный сочинитель хайку», и мастером чайной церемонии Сэн-но Рикю, удостоенным титула «Сасэй» – «Преподобный мастер чая». Годы жизни Сэки – приблизительно с 1640 по 1708. Он был самураем и жил в одно время с англичанином Исааком Ньютоном (1642-1727) и немцем Готфридом Лейбницем (1646-1716). Долгое время Сэки служил инспектором бухгалтерии феодального рода Кофу – иначе говоря, был профессионалом в том, что касается вычислений.

Хотя Сэки добился очень разнообразных выдающихся достижений в решении задач васан, доставшихся в наследство от предшественников, особого внимания, безусловно, заслуживает введение концепции «детерминанты» и открытие чисел Бернулли. При жизни сам Сэки опубликовал только одну работу под названим «Хацуби сампо» («Утонченная математика»), но после его смерти ученики обнародовали его достижения в четырехтомнике «Кацуё сампо» (вышел в 1712 году), также они описываются в многочисленных манускриптах.

Сэки разделил задачи и уравнения васан на три категории и демонстрировал решения для каждой из них. К первой он отнес задачи, решаемые арифметически (четырьмя действиями арифметики), ко второй – уравнения с одной неизвестной, и наконец к третьей – уравнения с двумя и более неизвестными, для решения которых Сэки предложил методы, которые стали развитием метода детерминант. Сэки изложил этот метод в 1683 году.

С другой стороны, Лейбниц, как утверждают, описал идею детерминант в 1693 году в одном из писем французскому математику Гийому Франсуа Лопиталю, а дальнейшие подробности остаются неизвестны. На Западе метод трехмерных детерминант, аналогичный методу Сэки, был впервые описан в 1846 году в книге французского математика Пьера Фредерика Саррюса. Таким образом, с введением концепции детерминант Сэки опередил Лейбница по меньшей мере на десять лет.

Даже те, кто утверждают про себя, что «не слишком сильны в математике» или «совсем не способны решать системы уравнений», могут оценить расчеты Сэки, взглянув на приведенное фото. Схема на странице, с разъяснениями коммутационного и диагонального методов в «Методах решения задач» из собрания Национальной академии наук Японии совершенно аналогична правилу Саррюса в современных учебниках математики.

Метод рядов определителей

Не желая сводить все к прениям о том, было это «раньше» или «позже», тем не менее нельзя не привести еще один пример «победы» Сэки. Это так называемые «числа Бернулли». Примитивно говоря, это особая группа чисел, используемая для получения ответов на задачи по сложению типа 1+2+3+…или 1²+2²+3²+…, 1³+2³+3³+…, 1^k+2^k＋3^k+… .

В наши дни мы знаем, что числа Бернулли полезны не только для получения ответов при сложении, но и в самых различных других областях математики. Поскольку знание об этих числах получило широкое распространение благодаря работе швейцарского математика Якоба Бернулли Ars Conjectandi («Искусство строить догадки»), опубликованной в 1713 году, данные последовательности называют «числами Бернулли».

Сэки тоже открыл существование этих последовательностей, в уже упомянутой работе «Кацуё сампо» они представлены под названием «Дасэки-дзюцу». Это значит, что Сэки опубликовал их на год раньше.

Совершенно очевидно то, что в эпоху, когда из-за политики самоизоляции сёгуната Эдо у Японии практически отсутствовали контакты с внешним миром, Сэки и Бернулли с использованием одинакового подохода пришли к одной и той же истине.

«Дасэки-дзюцу» в книге «Кацуё сампо» (из цифровой коллекции Библиотеки национального парламента) и «Искусство строить догадки» (из интернет-архива)

Решение уравнений высшего порядка и расчет десятков знаков числа «пи» после запятой

Помимо вышеизложенных достижений Сэки, более поздние деятели математики васан независимо приходили и к другим математическим истинам то несколько раньше, то несколько позже математиков Запада. Достаточно назвать лишь некоторые из таких вех: теорема окружностей Декарта, теорема Мальфатти, ряд Тейлора, расчет числа Пи, приближенные методы решения уравнений высшего порядка. Так, например, старший из учеников Сэки по имени Такэбэ Катахиро рассчитал число «пи» до 41 знака после запятой. Утверждают, что один из математиков васан нашел приближенное решение уравнения крайне высокого 1458-го порядка. Во всех этих случаях достижения стали возможны благодаря умению в полной мере использовать «компьютеры» того времени – счетную доску и счетные палочки.

Счетные палочки 3-5 сантиметровой длины на счетной доске. На фото представлено число 19 376 (Снимок предоставил Фукагава Хидэтоси)

В Японии существует сильная предубежденность, согласно которой васан – это математика уровня начальной школы. Я перечислил примеры предвосхищения математических открытий мастерами васан в том числе и для того, чтобы разбить это предубеждение. И в самом деле, хотелось бы, чтобы больше людей узнали о том, как в закрытой от внешнего мира стране жители раздвигали границы математики и находили в этом удовольствие. Особое впечатление на меня произвел отзыв о достижениях васан упомянутого в начале статьи профессора Питера Вана, человека китайских корней.

«Взгляните на Китай и другие страны Азии. Нет такого другого места кроме Японии, где обычные люди не были вовлечены в войны на протяжении 260 лет. Японцам очень повезло в том, что у них была возможность так долго активно заниматься развитием собственной культуры».

Табличка сангаку в синтоистском святилище Исибэ в городе Сабаэ префектуры Фукуи. На ней изложена задача об объеме сакэ, выпиваемого каждым участником ханами – любования цветением сакуры

Фотография к заголовку: Профессор Ван изучает сангаку в буддийском храме Мёдзёрин

Статьи по теме

• «Томоэ соробан»: новые возможности японских счётов в эпоху калькуляторов
• Профессор Мотидзуки доказал abc-гипотезу: после 8 лет проверки научный журнал решил опубликовать его работу
• Школы тэракоя: стереотипы и реальность образования в период Эдо